Первый редактор газеты «Московские ведомости», занимал этот пост с 1756 по 1765 гг., цензор типографии Московского университета.
Родился в Москве в семье А.К. Барсова – преподавателя и инспектора школы в Славянско-греко-латинской академии, впоследствии директора Московской синодальной типографии. А.А. Барсов в 1738 г. поступил в Славяно-греко-латинскую академию, затем в 1748 г. продолжил обучение в Академическом университете в Санкт-Петербурге, который окончил в 1753 г. со званием магистра философии и свободных наук. Работал переводчиком статей в газете «Санкт-Петербургские ведомости». Был приглашен И.И. Шуваловым в состав профессоров Московского университета, где читал курс математики и преподавал латинский язык. Ординарный профессор красноречия (с 1761) Московского университета, академик Российской АН (1783). В 1760-х гг. по поручению И.И. Бецкого подготовил проект и план Московского Воспитательного дома – учебного заведения нового типа. По инициативе Барсова в 1771 г. было основано «Вольное российское собрание» в Москве – первое научное историческое общество, секретарем которого он был до 1787 г. Автор учебника «Азбука церковная и гражданская, с краткими примечаниями о правописании» (1768) и «Российской грамматики», составитель сборника русских пословиц «Собрание 4291 древних российских пословиц» (1770).